Fix the formula

docs/Lv0-炼气/61-70.md

@@ -214,33 +214,34 @@ Total@IntegerDigits@Numerator@FromContinuedFraction@ContinuedFraction[E,100]
 :::tip Diophantine equation
 考虑如下形式的二次丢番图方程:
 
-x2 – Dy2 = 1
-举例而言, 当 D=13 时, x 的最小值出现在 6492 – 13×1802 = 1.
+$$x^2 – Dy^2 = 1$$
 
-可以断定, 当 D 是平方数时, 这个方程不存在正整数解.
+举例而言, 当 $D=13$ 时, $x$ 的最小值出现在 $649^2 – 13×180^2 = 1$.
 
-对于 D= {2, 3, 5, 6, 7} 分别求出 x 取最小值的解, 我们得到:
+可以断定, 当 $D$ 是平方数时, 这个方程不存在正整数解.
 
-32 – 2×22 = 1
-22 – 3×12 = 1
-92 – 5×42 = 1
-52 – 6×22 = 1
-82 – 7×32 = 1
+对于 $D= \{2, 3, 5, 6, 7\}$ 分别求出 $x$ 取最小值的解, 我们得到:
 
-因此, 对于所有 D ⩽ 7, 当 D=5 时 x 的最小值最大.
+- $3^2 – 2×2^2 = 1$
+- $2^2 – 3×1^2 = 1$
+- $9^2 – 5×4^2 = 1$
+- $5^2 – 6×2^2 = 1$
+- $8^2 – 7×3^2 = 1$
 
-对于 D ⩽ 1000, 求使得 x 的最小值最大的 D 值.
+因此, 对于所有 $D ⩽ 7$, 当 $D=5$ 时 $x$ 的最小值最大.
 
-佩尔方程啊, 这个其实和根号 D 的连分逼近有关, 第一个满足方程的分式正好能给出这个最小的 x.
+对于 $D ⩽ 1000$, 求使得 $x$ 的最小值最大的 $D$ 值.
 :::
 
-不过既然有内置的 FindInstance 我就懒得写了, 慢就慢吧, 毕竟我现在在刷题, 算法效率排在解题总时间后面.....
+佩尔方程啊, 这个其实和根号 $D$ 的连分逼近有关, 第一个满足方程的分式正好能给出这个最小的 x.
+
+不过既然有内置的 `FindInstance` 我就懒得写了, 慢就慢吧, 毕竟我现在在刷题, 算法效率排在解题总时间后面.....
 
 可以看下 tutorial/DiophantineReduce 了解各种丢番图方程的具体解题原理
 
 ```wl
-foo=(x/.FindInstance[x^2-# y^2==1&&x>0&&y>0,{x,y},Integers])[[1]]&;
-Last@Ordering[foo/@(Range[100]/.a_/;IntegerQ[Sqrt[a]]->2)]
+foo = (x /. FindInstance[x^2 - # y^2 == 1 && x > 0 && y > 0, {x, y}, Integers])[[1]]&;
+Last@Ordering[foo /@ (Range[1000] /. a_ /; IntegerQ[Sqrt[a]] -> 2)]
 ```
 
 ## P67: 最大路径和 II

docs/Lv1-旋照/191-200.md

@@ -47,7 +47,7 @@ x 是一个实数。
 一个 (a,b,c) 类型的染色摆放方案，是一个由 a 个 A 单元和 b 个 B 单元摆放组成，并用至多 c 种颜色给每个顶点染色并保证相邻顶点所染颜色不同的图形.
 上面这个复合图形就是 (2,2,6) 类型染色摆放方案的一个例子，事实上它也属于任意 (2,2,c) 类型，只要 c ⩾ 4 即可。
 
-记 N(a,b,c)是 (a,b,c) 类型的染色摆放方案总数。
+记 N(a,b,c) 是 (a,b,c) 类型的染色摆放方案总数。
 例如，N(1,0,3) = 24，N(0,2,4) = 92928，以及 N(2,2,3) = 20736。
 
 求 N(25,75,1984) 的最后 8 位小数。

docs/Lv2-筑基/201-210.md

@@ -1,10 +1,10 @@
 201
 
-**拥有唯一出现的元素和的子集**
+** 拥有唯一出现的元素和的子集 **
 
-对于任意数集A，记A中所有元素的和为sum(A)。
-考虑集合B = {1,3,6,8,10,11}。
-B有20个子集包含恰好三个元素，而这些子集的元素和分别是：
+对于任意数集 A，记 A 中所有元素的和为 sum(A)。
+考虑集合 B = {1,3,6,8,10,11}。
+B 有 20 个子集包含恰好三个元素，而这些子集的元素和分别是：
 
 > sum({1,3,6}) = 10,
 > sum({1,3,8}) = 12,
@@ -28,31 +28,31 @@ B有20个子集包含恰好三个元素，而这些子集的元素和分别是
 > sum({8,10,11}) = 29.
 
 这其中的有些元素和出现了不止一次，其它元素和则是唯一出现的。
-对于任意集合A，先求A所有恰好包含k个元素的子集的元素和，其中唯一出现的元素和构成集合U(A,k)。在我们的例子中，我们发现U(B,3) = {10,12,14,18,21,25,27,29}，因而sum(U(B,3)) = 156。
+对于任意集合 A，先求 A 所有恰好包含 k 个元素的子集的元素和，其中唯一出现的元素和构成集合 U(A,k)。在我们的例子中，我们发现 U(B,3) = {10,12,14,18,21,25,27,29}，因而 sum(U(B,3)) = 156。
 
-现在考虑有100个元素的集合S = {12, 22, … , 1002}。
-S有100891344545564193334812497256个子集恰好包含50个元素。
+现在考虑有 100 个元素的集合 S = {12, 22, … , 1002}。
+S 有 100891344545564193334812497256 个子集恰好包含 50 个元素。
 
-在这些子集的元素和中，找出那些唯一出现的元素和并求和，也即求sum(U(S,50))。
+在这些子集的元素和中，找出那些唯一出现的元素和并求和，也即求 sum(U(S,50))。
 
 202
 
 
-**激光束**
+** 激光束 **
 
 三面镜子摆成了正三角形的形状，其反射面朝内放置。在三角形的顶点处有一个无穷小的间隙可容一束激光束通过。
 
-记三个顶点分别为A、B和C。从顶点C射入的激光束，经过11次反射后再从同一个顶点射出，这样的路径一共有两条：其中一条如下所示，另一条即是将其反向。
+记三个顶点分别为 A、B 和 C。从顶点 C 射入的激光束，经过 11 次反射后再从同一个顶点射出，这样的路径一共有两条：其中一条如下所示，另一条即是将其反向。
 ![](https://projecteuler.net/project/images/p201_laserbeam.gif)
-从顶点C射入的激光束，经过1000001次反射后再从同一个顶点射出，这样的路径一共有80840条。
+从顶点 C 射入的激光束，经过 1000001 次反射后再从同一个顶点射出，这样的路径一共有 80840 条。
 
-从顶点C射入的激光束，经过12017639147次反射后再从同一个顶点射出，这样的路径一共有多少条？
+从顶点 C 射入的激光束，经过 12017639147 次反射后再从同一个顶点射出，这样的路径一共有多少条？
 
 203
 
-**无平方因子二项式系数**
+** 无平方因子二项式系数 **
 
-二项式系数nCk可以如下排成一个三角形，称为帕斯卡三角形：
+二项式系数 nCk 可以如下排成一个三角形，称为帕斯卡三角形：
 
 1
 
@@ -74,58 +74,58 @@ S有100891344545564193334812497256个子集恰好包含50个元素。
 
 可以看出帕斯卡三角形的前八行包含了十二个不同的数：1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21 and 35。
 
-如果正整数不被任何素数的平方整除，n就被称为无平方因子数。
-在帕斯卡三角形前八行的十二个不同的数中，除了4和20之外都是无平方因子数。
-这些不同的无平方因子数之和为105。
+如果正整数不被任何素数的平方整除，n 就被称为无平方因子数。
+在帕斯卡三角形前八行的十二个不同的数中，除了 4 和 20 之外都是无平方因子数。
+这些不同的无平方因子数之和为 105。
 
-求帕斯卡三角形前51行所有不同的无平方因子数之和。
+求帕斯卡三角形前 51 行所有不同的无平方因子数之和。
 
 204
 
-**广义汉明数**
+** 广义汉明数 **
 
-若一个正整数的所有质因数均不超过5，则被称为汉明数。
-前几个汉明数分别是1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15。
-在不超过108的正整数中，一共有1105个汉明数。
+若一个正整数的所有质因数均不超过 5，则被称为汉明数。
+前几个汉明数分别是 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15。
+在不超过 108 的正整数中，一共有 1105 个汉明数。
 
-若一个正整数的所有质因数均不超过n，则被称为n型广义汉明数。
-因此本来的汉明数就是5型广义汉明数。
+若一个正整数的所有质因数均不超过 n，则被称为 n 型广义汉明数。
+因此本来的汉明数就是 5 型广义汉明数。
 
-在不超过109的整整书中，一共有多少个100型广义汉明数？
+在不超过 109 的整整书中，一共有多少个 100 型广义汉明数？
 
 205
 
-**骰子游戏**
+** 骰子游戏 **
 
-彼得有九个四面的（金字塔型）骰子，每个面上分别标有1，2，3，4。
-科林有六个六面的（立方体型）骰子，每个面上分别标有1，2，3，4，5，6。
+彼得有九个四面的（金字塔型）骰子，每个面上分别标有 1，2，3，4。
+科林有六个六面的（立方体型）骰子，每个面上分别标有 1，2，3，4，5，6。
 
 彼得和科林分别掷出他们的所有骰子，并比较点数和：点数和更大者获胜。如果点数和相同，双方打成平手。
 
-金字塔彼得击败立方体科林的概率是多少？你的答案应当四舍五入至七位小数，即格式为0.abcdefg。
+金字塔彼得击败立方体科林的概率是多少？你的答案应当四舍五入至七位小数，即格式为 0.abcdefg。
 
 206
 
-**被遮挡的平方数**
+** 被遮挡的平方数 **
 
-找出唯一一个其平方形如1_2_3_4_5_6_7_8_9_0的正整数，
-其中每个“_”表示一位数字。
+找出唯一一个其平方形如 1_2_3_4_5_6_7_8_9_0 的正整数，
+其中每个 “_” 表示一位数字。
 
 
 207
 
-**整数分拆等式**
+** 整数分拆等式 **
 
-对于某些正整数k，存在形如4t = 2t + k的整数分拆，
-其中4t，2t和k均为正整数，而t为实数。
+对于某些正整数 k，存在形如 4t = 2t + k 的整数分拆，
+其中 4t，2t 和 k 均为正整数，而 t 为实数。
 
-前两个这样的分拆分别是41 = 21 + 2和41.5849625… = 21.5849625… + 6。
+前两个这样的分拆分别是 41 = 21 + 2 和 41.5849625… = 21.5849625… + 6。
 
-如果t也是整数，这样的分拆称为完美的。
-对于任意m ≥ 1，记P(m)是所有k ≤ m的分拆中完美分拆的比例。
-因此P(6) = 1/2。
+如果 t 也是整数，这样的分拆称为完美的。
+对于任意 m ≥ 1，记 P(m) 是所有 k ≤ m 的分拆中完美分拆的比例。
+因此 P(6) = 1/2。
 
-下面的表格列出了P(m)的部分取值：
+下面的表格列出了 P(m) 的部分取值：
 
 > P(5) = 1/1
 > P(10) = 1/2
@@ -137,37 +137,37 @@ S有100891344545564193334812497256个子集恰好包含50个元素。
 > P(180) = 1/4
 > P(185) = 3/13
 
-求出使得P(m) < 1/12345的最小m值。
+求出使得 P(m) < 1/12345 的最小 m 值。
 
 208
 
-**机器人走路**
+** 机器人走路 **
 
 一个机器人每步走五分之一个圆弧（72°），它每步都可以选择顺时针走或是逆时针走，但在走的途中不能改变方向。
 
-机器人从面向正北方开始，连续走25步所构成的闭合路径共有70932条，以下是其中一条：
+机器人从面向正北方开始，连续走 25 步所构成的闭合路径共有 70932 条，以下是其中一条：
 ![](https://projecteuler.net/project/images/p208_robotwalk.gif)
-假定机器人仍然从面向正北方开始，连续走70步之后，能够回到出发位置的路径有多少条？
+假定机器人仍然从面向正北方开始，连续走 70 步之后，能够回到出发位置的路径有多少条？
 （所有圆弧都可以经过多次。）
 
 209
 
-**圆环之理**
+** 圆环之理 **
 
-k元真值表是从k比特位（即二进制位的简称，其中0代表假，1代表真）输入到1比特位输出的映射。例如，逻辑运算符AND（和）和XOR（异或）的2元真值表如下所示：
+k 元真值表是从 k 比特位（即二进制位的简称，其中 0 代表假，1 代表真）输入到 1 比特位输出的映射。例如，逻辑运算符 AND（和）和 XOR（异或）的 2 元真值表如下所示：
 
 xyx AND yxyx XOR y000000010011100101111110
 
-有多少个6元真值表τ，对于所有的6比特位输入(a, b, c, d, e, f)始终满足下述等式？
+有多少个 6 元真值表τ，对于所有的 6 比特位输入 (a, b, c, d, e, f) 始终满足下述等式？
 τ(a, b, c, d, e, f) AND τ(b, c, d, e, f, a XOR (b AND c)) = 0
 
 210
 
-**锐角三角形**
+** 锐角三角形 **
 
-点集S(r)包含了所有坐标为整数且|x| + |y| ≤ r的点(x,y)。
-记O为原点(0,0)，C为点(r/4,r/4)。
-在S(r)中取一点B，使得三角形OBC有一个钝角，也即这个三角形的最大角α满足90°<α<180°，记所有这样的点B的数目为N(r)。
-例如，N(4)=24以及N(8)=100。
+点集 S(r) 包含了所有坐标为整数且 | x| + |y| ≤ r 的点 (x,y)。
+记 O 为原点 (0,0)，C 为点 (r/4,r/4)。
+在 S(r) 中取一点 B，使得三角形 OBC 有一个钝角，也即这个三角形的最大角α满足 90°<α<180°，记所有这样的点 B 的数目为 N(r)。
+例如，N(4)=24 以及 N(8)=100。
 
-求问N(1,000,000,000)是多少？
+求问 N(1,000,000,000) 是多少？