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\documentclass[]{article}
\usepackage[spanish]{babel}
%opening
\title{Ecuaciones Diferenciales I}
\author{Jose Pimentel Mesones}
\begin{document}
\maketitle
\begin{abstract}
\end{abstract}
\section{Tema 1 Metodos elementales de Integraci\'on}
Definición: Una ecuaci\'on diferencial (ordinaria) es una relación en la que interviene una variable independiente $(t)$ una dependiente $(x=x(t))$ y sus derivadas $R=(t,x,x^\prime,...,x^n)=0$\\
\begin{itemize}
\item El orden de la ED es el mayor de derivaci\'on: $x^{\prime\prime}+tgx^\prime-x^{43}=0$ ; orden 2
\item[-] Una ED est\'a en forma normal cuando aparece la derivada de mayor orden despejada y cuando no se dice que esta en forma impl\'icita.
\item Una solución de la ED es una funci\'on $X:I\rightarrow R^n$ siendo I un abierto en $R$ que admite n derivadas en todo punto de $I$ cumpliendo en dichos puntos la ecuación descrita\\
Por ejemplo $x^{\prime\prime}=\cos t$ su soluci\'on es $x(t)=-\cos t +k+ct$
\end{itemize}
\subsection{Problema de Valores Iniciales:} Problema de Cauchy o PVI consiste en buscar una soluci\'n a la ecuaci\'on que cumpla $x\prime(t)=f(t,x(t))$ y $x(t_0)=x_0$ siendo $(x_0,t_0)\in D$ y $f:D\subset R\to R^2$\\
Un PVI esta bien definido $\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{lccl}
\exists\ solucion\\
Es\ unica\\
Depende\ continuamente\ de\ los\ datos\ del\ problema
\end{array} \right.$
Ejemplo: $\left \{ \begin{array}{lccl}
x^\prime=\sin t\\
x_0=27
\end{array} \right.\Rightarrow x(t)=-\cos t+k\Rightarrow x_0=-\cos 0+k=27\Rightarrow k=28 $
\end{document}