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\documentclass[%
a4paper,
%empty, % keine Seitenzahlen
%a5paper, % alle weiteren Papierformat einstellbar
10pt, % Schriftgröße (12pt, 11pt (Standard))
leqno, % Nummerierung von Gleichungen links
fleqn, % Ausgabe von Gleichungen linksbündig
]
{scrartcl}
%\pagestyle{empty}
%\pagestyle{headings}
%% Deutsche Anpassungen
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
%obligatorischer Mathekram:
\usepackage{amssymb,amstext}
\usepackage[sumlimits]{amsmath}
\usepackage{eulervm}
\usepackage[thref,standard]{ntheorem}
%ist mir zu blöd, das jedes Mal zu schreiben:
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\limes}{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}}
\newcommand{\folge}[1]{(a_{#1})_{{#1} \in \mb{N}}}
\newcommand{\folgpart}{(S_n)_{n \in \mb{N}}}
\newcommand{\sumkinf}{\sum\limits_{k=1}^{\infty}}
\newcommand{\sumninf}{\sum\limits_{n=1}^{\infty}}
\newcommand{\sumkn}{\sum\limits_{k=1}^{n}}
%Einstellungen fuer ntheorem
\theoremheaderfont{\normalfont\scshape}
\theorembodyfont{\normalfont}
\theoremseparator{:\newline}
\newtheorem{defin}{Definition}[subsubsection]
%nützliche Extras:
\usepackage{array,
hhline,
longtable,
tabularx,
enumerate,
hyperref,
color,
setspace,
booktabs,
cite,
caption,
lineno,
lastpage,
algorithm,
}
%noetig für Querformat
%\usepackage[landscape]{geometry}
%\usepackage[left=1cm,right=1cm,top=1cm,bottom=1cm,includeheadfoot]{geometry}
\usepackage[cm,
%headings,
]{fullpage}
%\usepackage{fancyhdr}
%\pagestyle{fancy}
%\fancyhf{}
%
%\fancyhead[L]{\textbf{ }\\ }
%\fancyhead[C]{\textbf{Serie Nr.}\\ }
%\fancyhead[R]{\textsc{M. Darmüntzel}\\ LA Gy, 7251955}
%
%% \fancyfoot[L]{}
%% \fancyfoot[C]{}
%\fancyfoot[R]{\thepage / \pageref{LastPage}}
%
%%Linie oben/unten
%\renewcommand{\headrulewidth}{0.0pt}
%\renewcommand{\footrulewidth}{0.0pt}
\parindent 0pt
%% Packages für Grafiken & Abbildungen
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{subfig} %%Teilabbildungen in einer Abbildung
%\usepackage{tikz} %%TeX ist kein Zeichenprogramm
%\usepackage[all]{xy}
\usepackage{pst-all}
\begin{document}
%\pagestyle{empty}
\section{Analysis 1}
\subsection{Prädikatenlogik}
\subsection{Mengenlehre}
\begin{defin}[Menge]
\ \newline
Nach Georg Cantor: "`Unter einer 'Menge' verstehen wir jede Zusammenfassung $\mb{M}$ von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten $m$
unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die 'Elemente' von $\mb{M}$ genannt werden) zu einem Ganzen."'
\end{defin}
\begin{defin}["`$\in$"' Notation]
\ \newline
Man schreibt $m \in \mb{M}$ falls $m$ ein Element der Menge $\mb{M}$ ist und $m \notin \mb{M}$ falls $m$ kein Element der Menge ist.
\end{defin}
kartesischen Produkts
\subsection{Induktion}
\begin{defin}[$\mb{N}$ als Teilmenge von $\mb{R}$]
\ \newline
Es sei $\mb{N}$ die kleinste Teilmenge von $\mb{R}$ mit den folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $0 \in \mb{N}$
\item $x \in \mb{N} \Rightarrow x+1 \in \mb{N}$
\end{enumerate}
$\mb{N}$ besteht also aus der $0$ und ihren, durch Addition von $1$, definierten Nachfolgern. Dazu gibt's die Nachfolgerfunktion:
\[
v: \mb{N} \mapsto \mb{N},\ v(x):=x+1
\]
\begin{defin}[Peano Axiome]
\
\begin{itemize}
\item[(\textbf{P.1})] Zwei verschiedene Elemente von $\mb{N}$ haben verschiedene Nachfolger: $x \neq y \Rightarrow v(x) \neq v(y)$
\item[(\textbf{P.2})] Kein Element von $\mb{N}$ hat 0 als Nachfolger: $0 \notin v(\mb{N})$
\item[(\textbf{P.3})] (Induktions-Axiom)
Sei $\mb{M} \subset \mb{N}$ eine Teilmenge mit folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}
\item $0 \in \mb{M}$
\item $x \in \mb{M} \Rightarrow v(x) \in \mb{M}$
\end{enumerate}
Dann gilt $\mb{M} = \mb{N}$.
\end{itemize}
\end{defin}
\end{defin}
\begin{defin}[Induktionsprinzip]
\ \newline
Eine Aussage $A(n)$ gilt für alle $n \in \mb{N}$, wenn $A(1)$ gilt und für jedes $n \in \mb{N}$ aus der Aussage $A(n)$ die
Aussage $A(n+1)$ folgt.
\end{defin}
\begin{Anmerkung}
\ \newline
$A(1)$ nennt man den Induktionsanfang und den Beweis von $\forall n \in \mb{N}: A(n) \Rightarrow A(n+1)$ den
Induktionsschluss oder Induktionsschritt.
\end{Anmerkung}
\subsection{Abbildungen}
\begin{defin}[Abbildung]
\ \newline
Eine Abbildung $f$ von einer Menge $\mb{X}$ in eine Menge $\mb{Y}$ (Notation: $f: \mb{X} \mapsto \mb{Y}$)
ist eine Zuordnung oder Vorschrift, die jedem Element $x \in \mb{X}$ ein eindeutiges Element $f(x) \in \mb{Y}$ zuordnet.
\end{defin}
\begin{defin}[Graph]
\ \newline
Der Graph einer Abbildung ist eine Teilmenge $\mb{G} \subset \mb{X} \times \mb{Y}$, die durch
Graph($f$) := $\{ (x,f(x)) \in \mb{X} \times \mb{Y}\ |\ x \in \mb{X}\}$ beschrieben wird.
Jedem $x \in \mb{X}$ wird genau ein $y \in \mb{X}$ zugeordnet (Notation: $y=f(x)$).
\end{defin}
\subsection{Körperaxiome}
\begin{defin}[Körper]\label{koerper}
\ \newline
Ein Tripel ($\mb{K}$,$+$,$\cdot$) bestehend aus einer Menge $\mb{K}$ und zwei binären Verknüpfungen
\begin{tabular}{cccl}
$+$ & : & $\mb{K} \times \mb{K} \rightarrow \mb{K}$, & $(x,y) \mapsto x+y$\\
$\cdot$ & : & $\mb{K} \times \mb{K} \rightarrow \mb{K}$, & $(x,y) \mapsto x \cdot y$\\
\end{tabular}
(normalerweise \emph{Addition} und \emph{Multiplikation}) heißt genau dann Körper, wenn für alle $x$,$y$,$z \in \mb{K}$ die
folgenden Axiome gelten:
\begin{itemize}
\item Axiome der Addition
\begin{enumerate}
\item Assoziativität: $x + ( y + z ) = ( x + y ) + z$
\item Kommutativität: $x + y = y + x$
\item Existenz des neutralen Elements: $\exists 0 \in \mb{K}: x + 0 = x$
\item Existenz der inversen Elemente: \emph{Zu jedem $x \in \mb{K}$ existiert genau ein Element $-x \in \mb{K}$}: $x + (-x) = 0$
\end{enumerate}
\item Axiome der Multiplikation
\begin{enumerate}
\item Assoziativität: $x \cdot ( y \cdot z ) = ( x \cdot y ) \cdot z$
\item Kommutativität: $x \cdot y = y \cdot x$
\item Existenz des neutralen Elements: $\exists 1 \in \mb{K},1 \neq 0: x \cdot 1 = x$
\item Existenz der inversen Elemente: \emph{Zu jedem $x \in \mb{K}$ mit $x \neq 0$ existiert genau ein Element $x^{-1} \in \mb{K}$
}: $x \cdot x^{-1} = 1$
\end{enumerate}
\item Distributivgesetz: $x \cdot ( y + z ) = x \cdot y + x \cdot z$
\end{itemize}
\end{defin}
\begin{Beispiel}
Die Mengen $\mb{Q}, \mb{R}$ und $\mb{C}$ bilden mit "`+"' und "`\ $\cdot$\ "' einen Körper. Neutrale Elemente sind 0 bzw. $(0,0)$
für die Addition und 1 bzw. $(1,0)$ für die Multiplikation.
\end{Beispiel}
\subsubsection{Relation}
\begin{defin}[binäre Relation]\label{brelation}
\ \newline
Eine binäre Relation $\cal{R}$ auf der Menge $\mb{M}$ ist eine Teilmenge von $\mb{M} \times \mb{M}$, also $\cal{R} \subset \mb{M} \times \mb{M}$
\end{defin}
\begin{defin}[Relationseigenschaften]\label{eigrelation}
\ \newline
Eine binäre Relation $\cal{R}$ auf einer Menge $\mb{M}$ heißt
\begin{itemize}
\item \textbf{reflexiv}, falls $\forall m \in \mb{M}: (m,m) \in \cal{R}$
\item \textbf{symmetrisch}, falls $\forall m,n \in \mb{M}: (m,n) \in \cal{R} \Rightarrow $$ (n,m) \in \cal{R}$
\item \textbf{transitiv}, falls $\forall k,m,n \in \mb{M}: (k,m) \in \cal{R}\ \wedge\ $$ (m,n) \in \cal{R} \Rightarrow $$ (k,n) \in \cal{R}$
\end{itemize}
\end{defin}
\begin{defin}[Äquivalenzrelation]
\ \newline
$\cal{R}$ ist eine binäre Relation auf $\mb{M}$, welche reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Notation: $x \sim y$.
\end{defin}
\begin{defin}[Ordnungsrelation]
\ \newline
$\cal{R}$ ist eine binäre Relation auf $\mb{M}$, welche reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Notation: $x \leq y$.
\end{defin}
\begin{defin}[angeordneter Körper]
\ \newline
Ein Körper $(\mb{K},+,\cdot)$ wird mit einer Ordnungsrelation $\leq$ zu einem angeordneten Körper. Elemente aus $\mb{K}$ werden damit
vergleichbar und es gilt $\forall x,y \in \mb{K}: x \leq y \vee y \leq x$
\end{defin}
\subsubsection{Absolutbetrag}
\begin{defin}[Absolutbetrag]
\begin{displaymath}
|x| := \left\{
\begin{array}{cl}
x & x \geq 0\\
-x & x < 0\\
\end{array}
\right.
\end{displaymath}
\end{defin}
\begin{Satz}[Eigenschaften des Absolutbetrages]\label{satz:eigabs}
\
\begin{itemize}
\item[(a)] \emph{Positive Definitheit:} $\forall x \in \mb{R}: |x| \geq 0$ und $|x|=0 \Longleftrightarrow x=0$
\item[(b)] \emph{Multiplikativität:} $\forall x,y \in \mb{R}: |x \cdot y| = |x| \cdot |y|$
\item[(c)] \emph{Dreiecksungleichung:} $\forall x,y \in \mb{R}: |x+y| \leq |x|+|y|$
\end{itemize}
\end{Satz}
\begin{Anmerkung}
\ \newline
Gelten in einem Körper die Eigenschaften \emph{a},\emph{b},\emph{c} aus Satz \ref{satz:eigabs}, dann nennt man ihn einen
\emph{bewerteten} Körper. Angeordnete Körper müssen nicht gleich bewertete Körper sein. Beispiel: $\mb{C}$
\end{Anmerkung}
\begin{defin}[Metrik im Reellen]
\ \newline
Über die Betragsfunktion lässt sich eine Metrik (Abstandsfunktion) definieren: $\forall x,y \in \mb{R}: d(x,y):=|x-y|=|y-x|$.
\end{defin}
\subsubsection{Archimedisches Axiom}
\begin{defin}[Archimedisches Axiom]
\ \newline
Zu je zwei reellen Zahlen $x,y > 0$ existiert eine natürliche Zahl $n$ mit $n \cdot x > y$.
\end{defin}
\begin{Korollar}[Gauß-Klammer]
\ \newline
\begin{tabular}{ll}
\textbf{\emph{abrunden:}} & $\lfloor x \rfloor$ ist jene Zahl $n \in \mb{Z}$ für die gilt: $n \leq x < n+1$.\\
\textbf{\emph{aufrunden:}} & $\lceil x \rceil$ ist jene Zahl $m \in \mb{Z}$ für die gilt: $m < x \leq m+1$.
\end{tabular}
\end{Korollar}
\begin{Satz}[Bernoullische Ungleichung]
\ \newline
Sei $x \geq -1$, dann gilt $\forall n \in \mb{N}$:
\[
(1+x)^n \geq 1 + n \cdot x
\]
\end{Satz}
\subsection{Folgen, Grenzwerte}
\begin{defin}[Folge]
\ \newline
Unter einer \emph{Folge} reeller Zahlen versteht man eine Abbildung $\mb{N} \mapsto \mb{R}$. Jedem $n \in \mb{N}$
ist also ein $a_n \in \mb{R}$ zugeordnet. Notation: $(a_n)_{n \in \mb{N}}$ oder $(a_0,a_1,a_2,a_3,...)$
\end{defin}
\begin{defin}[Konvergenz]
\ \newline
Sei $(a_n)_{n \in \mb{N}}$ eine Folge reeller Zahlen. Die Folge heißt \emph{konvergent} gegen $a \in \mb{R}$, falls gilt:
\[
\forall \varepsilon > 0\ \exists N = N(\varepsilon) \in \mb{N}\ \forall n \in \mb{N}: n \geq N(\varepsilon) \Rightarrow |a_n - a| < \varepsilon
\]
Notation: $\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n = a$
Konvergiert $a_n$ gegen $a$, dann nennt man $a$ den Grenzwert oder Limes der Folge.
Gilt $\limes a_n = 0$, dann heißt $a_n$ auch \emph{Nullfolge}.
\end{defin}
\begin{defin}[Divergenz]
\ \newline
Eine Folge $(a_n)$, die nicht konvergiert, heißt divergent.
\end{defin}
\begin{defin}[Beschränktheit]
\ \newline
Eine Folge $(a_n)_{n \in \mb{N}}$ reeller Zahlen heißt \emph{nach oben} (bzw. \emph{nach unten}) \emph{beschränkt}, wenn es eine
Konstante $K \in \mb{R}$ gibt, so dass
\[
\forall n \in \mb{N}: a_n \leq K (\text{bzw.} a_n \geq K).
\]
Die Folge $(a_n)_{n \in \mb{N}}$ heißt \emph{beschränkt}, wenn es eine reelle Konstante $M \geq 0$ gibt, so dass
\[
\forall n \in \mb{N}:|a_n| \leq M
\]
Eine Folge ist also genau dann beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
\end{defin}
\begin{Satz}\label{satz:konvfolbeschr}
Jede konvergente Folge $(a_n)_{n \in \mb{N}}$ ist beschränkt.
\end{Satz}
\begin{Anmerkung}
\ \newline
Die Umkehrung von Satz \ref{satz:konvfolbeschr} gilt nicht. Beispiel: $a_n := (-1)^n$ ist beschränkt, konvergiert aber nicht.
Eine Folge muss aber beschränkt sein, damit sie überhaupt konvergieren kann.
\end{Anmerkung}
\begin{Satz}[Rechenregeln für Grenzwerte]
\ \newline
Seien $(a_n)_{n \in \mb{N}}$ und $(b_n)_{n \in \mb{N}}$ konvergente Folgen reeller Zahlen. Dann gilt:
\begin{align}
\limes (a_n + b_n) & = \limes a_n + \limes b_n\\
\limes (a_n \cdot b_n) & = \limes a_n \cdot \limes b_n\\
\Rightarrow \limes (\lambda \cdot a_n + \mu \cdot b_n) & = \lambda \cdot \limes a_n + \mu \cdot \limes b_n)
\intertext{falls $\limes b_n \neq 0:$}
\limes \frac{a_n}{b_n} & = \frac{\limes a_n}{\limes b_n}
\end{align}
\end{Satz}
\begin{defin}[bestimmte Divergenz]
\ \newline
Sei $(a_n)_{n \in \mb{N}}$ eine Folge aus $\mb{R}$, dann heißt $a_n$ bestimmt divergent, falls einer der beiden Fälle auftritt:
\begin{itemize}
\item[(a)] $\limes = \infty \Longleftrightarrow \forall \in \mb{R}\ \exists N = N(L) \in \mb{N}\ \forall n \in \mb{N} : n \geq N(L) \Rightarrow a_n > L$
\item[(b)] $\limes = -\infty \Longleftrightarrow \forall \in \mb{R}\ \exists N = N(L) \in \mb{N}\ \forall n \in \mb{N} : n \geq N(L) \Rightarrow a_n < L$
\end{itemize}
\end{defin}
\begin{Anmerkung}
$\infty$ und $-\infty$ sind keine reellen Zahlen!
\end{Anmerkung}
\begin{defin}[Cauchy-Folge]
\ \newline
Eine Folge $a_n$ in $\mb{R}$ heißt Cauchy-Folge, falls
\[
\forall \varepsilon > 0\ \exists N = N(\varepsilon) \in \mb{N}\ \forall n,m \in \mb{N} : n,m \geq N(\varepsilon) \Rightarrow |a_n - a_m| < \varepsilon
\]
Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
\end{defin}
\begin{defin}[Vollständigkeitsaxiom]
\ \newline
In $\mb{R}$ konvergiert jede Cauchy-Folge.
\end{defin}
\begin{Satz}[Satz von Bolzano-Weierstraß]
Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.
Das heißt: gilt $|a_n| \leq M$ für alle $n$, dann gibt es Indizes $n_1 < n_2 < n_3 < ...$,
so dass $\limes a_{n_k}$ existiert.
Die Grenzwerte der Teilfolgen nennt man Häufungspunkte der Folge.
\end{Satz}
\subsubsection{Reihen}
\begin{defin}[$n$-te Partialsumme]
\ \newline
Zu jeder Folge $\folge{n}$ bezeichnet $S_n := \sum\limits_{k=1}^n a_k$ die $n$-te Partialsumme von $\folge{n}$.
\end{defin}
\begin{defin}[Reihe]
\ \newline
Die Reihe zu einer Folge $\folge{n}$ ist die Folge der $n$-ten Partialsummen: $(S_n)_{n \in \mb{N}} =
\left( \sum\limits_{k=1}^n \right)_{n \in \mb{N}}$
\end{defin}
\begin{defin}[Reihenkonvergenz]
\ \newline
Eine Reihe heißt konvergent, wenn für die Folge $\folgpart$ der Partialsummen eine Zahl $S \in \mb{R}$ mit $\limes S_n = S$ existiert.
Notation: $S = \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$
\end{defin}
\begin{defin}[absolute Konvergenz]
\ \newline
Eine Reihe $\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k$ heißt absolut konvergent, wenn die Reihe $\sum\limits_{k=1}^{\infty} |a_k|$ konvergiert.
\end{defin}
\subsubsection{Konvergenzkriterien für Reihen}
\begin{Satz}[Nullfolge als notwendiges Kriterium für Konvergenz]
\ \newline
Eine notwendige (aber nicht hinreichende) Bedingung für die Konvergenz einer Reihe $\sumninf a_n$ ist, dass $\limes a_n = 0$
\end{Satz}
\begin{Anmerkung}
\ \newline
Bestes Beispiel dafür, dass die Reihe einer Nullfolge nicht automatisch konvergiert ist die \emph{harmonische} Reihe:
$\limes \frac{1}{n} = 0$, aber $\sumninf \frac{1}{n} = +\infty$
\end{Anmerkung}
\begin{Satz}[\textsc{Cauchy}sches Konvergenzkriterium]
\ \newline
Die Reihe $\sumkinf a_k$ konvergiert genau dann, wenn gilt:
\[
\forall \varepsilon > 0\ \exists N(\varepsilon) \in \mb{N}\ \forall n \geq m \geq N(\varepsilon): \left| \sum\limits_{k=m}^n a_k \right| < \varepsilon
\]
\end{Satz}
\begin{Satz}[\textsc{Leibniz}-Kriterium]
\ \newline
Sei $\folge{n}$ eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen mit $\limes a_n = 0$.
Dann konvergiert die Reihe $\sumkinf (-1)^k \cdot a_k$
\end{Satz}
\begin{Satz}[Majorantenkriterium]
\ \newline
Sei $\sumkinf c_k$ eine konvergente Reihe mit $c_k \geq 0$ für alle $k \in \mb{N}$. Weiter sei $\folge{k}$ eine Folge mit
$|a_k| \leq c_k$ für alle $k \in \mb{N}$. Dann konvergiert die Reihe $\sumkinf a_k$ absolut.
\end{Satz}
\begin{Satz}[Quotientenkriterium]
\ \newline
Sei $\sumkinf a_k$ eine Reihe mit $a_k \neq 0$ für alle $k \geq k_0$. Weiterhin gebe es eine reelle Zahl $\theta$ mit $0 < \theta < 1$,
so dass $\frac{a_{k+1}}{a_k} \leq \theta$ für alle $k \geq k_0$. Dann konvergiert die Reihe $\sumkinf a_k$ absolut.
\end{Satz}
\begin{Satz}[Wurzelkriterium]
\ \newline
Sei $0 < q < 1$ eine feste Zahl und $\sumkinf a_k$ eine Reihe mit $\sqrt[k]{|a_k|} \leq q$. Dann konvergiert die Reihe $\sumkinf a_k$ absolut.
\end{Satz}
\begin{Anmerkung}
Das Quotienten- und Wurzelkriterium sind Anwendungen des Majorantenkriteriums.
\end{Anmerkung}
\begin{Satz}[absolute Konvergenz als hinreichendes Kriterium]
\ \newline
Eine absolut konvergierende Reihe konvergiert auch im gewöhnlichen Sinn.
\end{Satz}
\begin{Anmerkung} Absolute Konvergenz ist allerdings keine notwendige Bedingung.
Beispiel: $\sumkinf (-1)^k \cdot \frac{1}{k}$ konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium, ist jedoch nicht absolut konvergent
(da die harmonische Reihe divergiert).
\end{Anmerkung}
\begin{Satz}[Linearkombinationen konvergenter Reihen]
\ \newline
Seien $\sumninf a_n$ und $\sumninf b_n$ konvergente Reihen reeller Zahlen und $\lambda, \mu \in \mb{R}$.
Dann konvergiert auch die Reihe $\sumninf (\lambda \cdot a_n + \mu \cdot b_n)$ und es gilt
\[
\sumninf (\lambda \cdot a_n + \mu \cdot b_n) = \lambda \cdot \sumninf a_n + \mu \cdot \sumninf b_n
\]
\end{Satz}
\subsubsection{spezielle Reihen}
\begin{defin}[Teleskop-Summe]
\ \newline
Heben sich in einer Reihe zwei aufeinanderfolgende Glieder auf, dann nennt man die Reihe eine Teleskopsumme.
Beispiel: $\sumkn \frac{1}{k(k+1)}$ wird mittels Partialbruchzerlegung zu $\sumkn \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right)$.
Da sich hier immer zwei aufeinanderfolgende Glieder aufheben ($= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$),
lässt sich der Grenzwert der Reihe einfach berechnen:
\[
\limes \sumkn \frac{1}{k(k+1)} = \limes 1 - \frac{1}{n+1} = 1
\]
\end{defin}
\begin{defin}[Unendliche geometrische Reihe]
\ \newline
Die Reihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n$ konvergiert für $|x|<1$ gegen:
\[
\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}
\]
\end{defin}
\begin{defin}[$b$-adische Brüche]
\ \newline
Sei $b$ eine natürliche Zahl $\geq 2$. Unter einem (unendlichen) $b$-adischen Bruch versteht man eine Reihe der Gestalt
\[
\pm \sum\limits_{n=-k}^{\infty} a_n b^{-n}
\]
Dabei ist $k \geq 0$ und die $a_n$ sind natürliche Zahlen mit $0 \leq a_n < b$.
\end{defin}
\end{document}